Paradoks Monty Halla — kiedy intuicja kosztuje Cię realne pieniądze

Sytuacja

Jesteś w amerykańskim teleturnieju. Prowadzący pokazuje Ci 3 zamknięte bramy:

• Za jedną stoi nowy samochód
• Za dwoma — kozy

Wybierasz np. bramę nr 1. Prowadzący — który wie gdzie jest samochód — otwiera jedną z pozostałych bram (np. nr 3) i pokazuje kozę. Mówi:

“Możesz zostać przy bramie 1 albo zmienić na bramę 2. Co wybierasz?”

Pytanie: co się bardziej opłaca — zostać czy zmienić?

Intuicja mówi: “bez różnicy, 50/50”

Większość ludzi (włącznie z matematykami, którzy się o to publicznie kłócili w latach 90.) powie: skoro zostały 2 bramy, to szansa na samochód za każdą wynosi 50%. Bez znaczenia.

Intuicja kłamie. Zmiana bramy daje 2× wyższą szansę wygranej.

Dlaczego — bez wzorów, logicznie

Gdy wybierałeś bramę nr 1 na początku, miałeś:

• 1/3 szansy że trafiłeś w samochód
• 2/3 szansy że jest w jednej z dwóch pozostałych

Te 2/3 szansy gdzieś dalej istnieje — nie znikło. Prowadzący odsłania jedną z dwóch bram (zawsze tę z kozą, bo wie). Cała ta szansa 2/3 skupia się teraz na drugiej, nieotwartej bramie.

Czyli:

• Brama 1 (Twoja pierwotna): 1/3 szansy
• Brama 2 (ta druga, niepokazana): 2/3 szansy

Zmiana = podwojenie szans.

Symulacja w głowie

Wyobraź sobie 100 bram zamiast 3. Wybierasz jedną. Prowadzący otwiera 98 z pozostałych 99, wszystkie z kozą. Zostaje Twoja brama i jedna inna.

Czy nadal myślisz że to “50/50”? Twoja pierwotna szansa była 1/100. Pozostała brama “przejęła” szansę 99/100 z odrzuconych. Oczywiste że trzeba zmieniać.

Co to ma wspólnego z biznesem

Wszystko. Paradoks Monty Halla pokazuje fundamentalny błąd ludzkiej intuicji: nie aktualizujemy poprawnie ocen prawdopodobieństwa, gdy dostajemy nowe informacje.

Przykłady z prawdziwego życia:

Inwestowanie: Kupiłeś spółkę X (intuicja). Po 6 miesiącach spółka traci 30%, pojawiają się złe newsy (nowa informacja). Sprzedać czy “trzymać bo wróci”? Intuicja mówi “trzymaj, w końcu wybierałem świadomie”. Bayesowska aktualizacja mówi: zmieniaj ocenę w świetle nowych danych.

Rekrutacja: Masz kandydata A z dobrym CV. Po pierwszej rozmowie pojawiają się sygnały ostrzegawcze. Intuicja: “ale CV było dobre, dam szansę”. Statystyka: nowe dane są mocniejsze niż pierwsza ocena.

Negocjacje cenowe: Sprzedawca zna swoją kartę. Ty znasz tylko 1/3 obrazu. Jeśli zachowuje się dziwnie — to informacja. Uwzględnij ją.

Zasada Bayesowska — formalna nazwa tego zjawiska

To co tu się dzieje, w matematyce nazywa się twierdzeniem Bayesa:

$P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}$

W skrócie: prawdopodobieństwo czegoś, GDY znasz nowe informacje, jest inne niż prawdopodobieństwo początkowe. To podstawa nowoczesnego myślenia o ryzyku, od medycyny po sztuczną inteligencję.

Policzmy to dla 100 bram

Nie wierzysz na słowo? Policzmy dowód formalnie, wzorem Bayesa, dla wariantu ze 100 bramami.

Sytuacja: Wybierasz bramę nr 1 z 100. Prowadzący, który wie gdzie jest samochód, otwiera 98 z pozostałych 99 bram — wszystkie z kozami — zostawiając Twoją bramę 1 i jedną nieotwartą, np. bramę 47.

Definiujemy zdarzenia:

• $A$ = “samochód jest za bramą 1” (Twój pierwszy wybór)
• $B$ = “prowadzący otwiera akurat te konkretne 98 bram (wszystkie poza bramą 1 i bramą 47)”

Dane wejściowe:

$P(A)=\frac{1}{100}$

$P(B|A)=\frac{1}{99}$

Jeśli samochód jest za bramą 1, prowadzący ma 99 bram do wyboru z kozami i musi wybrać dokładnie tę jedną kombinację, która zostawia bramę 47 zamkniętą — szansa $1/99$ na wybór akurat tego zestawu.

$P(B|\neg A)=1$

Jeśli samochodu nie ma za bramą 1, to jest gdzieś między pozostałymi 99 bramami. Prowadzący musi otworzyć wszystkie kozy i zostawić zamkniętą tylko bramę z samochodem — czyli jeśli to akurat brama 47 ma samochód, dokładnie to zrobi, z prawdopodobieństwem 1.

Liczymy $P(B)$ — prawdopodobieństwo całkowite:

$P(B)=P(B|A)\cdot P(A)+P(B|\neg A)\cdot P(\neg A)$

$P(B)=\frac{1}{99}\cdot \frac{1}{100}+1\cdot \frac{99}{100}=\frac{1}{9900}+\frac{9801}{9900}=\frac{9802}{9900}$

Podstawiamy do wzoru Bayesa:

$P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{9900}}{\frac{9802}{9900}}=\frac{1}{9802}\approx \frac{1}{100}$

Czyli brama 1 (Twój pierwszy wybór) ma wciąż ok. $\frac{1}{100}$ szansy — praktycznie nie zmieniła się.

A brama 47 — ta, którą prowadzący zostawił zamkniętą?

$P(\neg A|B)=1-P(A|B)=1-\frac{1}{9802}=\frac{9801}{9802}\approx \frac{99}{100}$

Brama 47 ma ok. 99/100 szansy. Matematyka formalnie potwierdza dokładnie to, co liczyliśmy logicznie wcześniej — tylko teraz krok po kroku, wzorem Bayesa, bez żadnej intuicji w grze.

Wniosek

1. Twoja intuicja w decyzjach probabilistycznych jest zwykle zła — i to nie wstyd, mózg ewoluował do unikania tygrysów, nie do liczenia szans
2. Gdy dostajesz nową informację — aktualizuj ocenę. To nie jest “niekonsekwencja”, to jest racjonalność
3. Decyzje typu “trzymam bo zainwestowałem dużo czasu/pieniędzy” (sunk cost fallacy) są dokładnie tym błędem co “zostaję przy bramie 1”

Word do refleksji

Następnym razem gdy będziesz mówił “ja po prostu wiem że tak będzie” — zatrzymaj się. Sprawdź dane. Policz. Matematyka jest po Twojej stronie, jeśli pozwolisz jej pracować.

---

Jeśli chcesz głębiej zrozumieć rachunek prawdopodobieństwa — w dziale prawdopodobieństwa z matury rozszerzonej idziemy przez to wszystko krok po kroku.