← Strona główna / Kalkulatory / Kredyt hipoteczny

⚙️ KALKULATOR · NOWY

Kredyt hipoteczny z nadpłatami.

Policz ratę, harmonogram spłat i oszczędność na odsetkach przy nadpłacie. Najpierw pokazuję, skąd biorą się wzory, a potem możesz sprawdzić własne liczby.

Przejdź do kalkulatora ↓ Zobacz wzory

1 Rata annuitetowa

Kredyt hipoteczny najczęściej spłacasz w ratach równych (annuitetowych): co miesiąc wpłacasz tę samą kwotę, która pokrywa odsetki i część kapitału. Rata jest dobrana tak, aby po dokładnie $n$ miesiącach saldo kredytu wyniosło zero.

Miesięczna stopa procentowa

Oprocentowanie nominalne to marża banku plus stawka referencyjna (np. WIBOR). Jest podawane w skali roku, więc dzielimy je przez 12 miesięcy i przez 100, żeby dostać ułamek dziesiętny:

Wzór 1 — miesięczna stopa procentowa

r=\frac{\text{marża}+\text{WIBOR}}{12\cdot 100}

Wzór na ratę

Kwota kredytu musi być równa sumie wartości bieżących wszystkich rat. Raty tworzą ciąg geometryczny, więc:

P=\sum_{k=1}^{n}\frac{\mathrm{PMT}}{(1+r)^{k}}=\mathrm{PMT}\cdot\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}

Wyznaczając z tego $\mathrm{PMT}$ , dostajemy wzór na ratę:

Wzór 2 — rata annuitetowa

\mathrm{PMT}=P\cdot\frac{r\,(1+r)^{n}}{(1+r)^{n}-1}

$\mathrm{PMT}$	stała miesięczna rata kredytu (zł)
$P$	kwota kredytu, czyli saldo początkowe (zł)
$r$	miesięczna stopa procentowa (ułamek dziesiętny)
$n$	liczba rat (miesięcy)

Przykład liczbowy

Kredyt $P=700\,000$ zł na $n=300$ miesięcy (25 lat), marża $1{,}55\%$ , WIBOR 3M $3{,}85\%$ .

r=\frac{1{,}55+3{,}85}{1200}=\frac{5{,}40}{1200}=0{,}0045

(1+r)^{300}=1{,}0045^{300}\approx 3{,}8458

\mathrm{PMT}=700\,000\cdot\frac{0{,}0045\cdot 3{,}8458}{3{,}8458-1}=3150\cdot 1{,}3514\approx \mathbf{4\,256{,}91}\ \text{zł}\approx 4\,257\ \text{zł}

2 Harmonogram spłat

Choć rata $\mathrm{PMT}$ jest stała, jej wnętrze zmienia się co miesiąc. Odsetki liczone są od aktualnego salda, więc na początku stanowią większość raty, a z czasem coraz większą część raty pochłania kapitał.

Wzory 3–5 — podział raty w

i

-tym miesiącu

O_i=S_{i-1}\cdot r \qquad (3)

K_i=\mathrm{PMT}-O_i \qquad (4)

S_i=S_{i-1}-K_i \qquad (5)

$O_i$	odsetki w $i$ -tym miesiącu (zł)
$K_i$	spłata kapitału w $i$ -tym miesiącu (zł)
$S_i$	saldo kredytu po $i$ -tym miesiącu (zł)
$S_0$	saldo początkowe, $S_0=P$

Saldo po $i$ -tym miesiącu można też policzyć od razu, bez wypisywania całego harmonogramu:

Wzór 6 — saldo po

i

-tym miesiącu (postać zamknięta)

S_i=P\,(1+r)^{i}-\mathrm{PMT}\cdot\frac{(1+r)^{i}-1}{r}

Przykład — pierwsze trzy miesiące (

P=700\,000

zł,

r=0{,}0045

\mathrm{PMT}\approx 4\,257

zł)

Mies.	Saldo pocz.	Odsetki $O_i$	Kapitał $K_i$	Rata	Saldo końc.
1	700 000 zł	3 150 zł	1 107 zł	4 257 zł	698 893 zł
2	698 893 zł	3 145 zł	1 112 zł	4 257 zł	697 781 zł
3	697 781 zł	3 140 zł	1 117 zł	4 257 zł	696 664 zł

Po 300 miesiącach saldo wynosi 0 zł. Suma odsetek to 577 073 zł, czyli do oddania jest łącznie 1 277 073 zł (sam kredyt i odsetki, bez ubezpieczeń i opłat).

3 Matematyka nadpłat

Nadpłata to kwota wpłacona ponad ratę, która w całości pomniejsza kapitał. Ponieważ odsetki liczy się od salda (wzór 3), każda złotówka nadpłacona w $i$ -tym miesiącu przestaje generować odsetki we wszystkich kolejnych miesiącach.

Wzór 7 — saldo z nadpłatą

N_i

i

-tym miesiącu

S_i=S_{i-1}-K_i-N_i,\qquad 0\le N_i\le S_{i-1}-K_i

Jednorazowa nadpłata

Jednorazowa nadpłata $N^{*}$ w wybranym miesiącu $m$ to szczególny przypadek wzoru 7:

N_i=\begin{cases} N^{*} & \text{dla } i=m,\\ 0 & \text{dla } i\neq m. \end{cases}

Stała miesięczna wpłata

Wygodnie jest myśleć nie o „racie plus nadpłacie", tylko o jednej kwocie $W$ , którą wpłacasz co miesiąc (przy czym $W\ge \mathrm{PMT}$ ). Nadpłata to wtedy po prostu nadwyżka:

Wzór 8 — nadpłata przy stałej wpłacie

N=W-\mathrm{PMT}

Przykład: $W=5\,000$ zł, $\mathrm{PMT}\approx 4\,257$ zł, więc $N\approx 743$ zł miesięcznie.

Skoro co miesiąc wpłacasz $W$ , saldo zmienia się według prostego wzoru rekurencyjnego: dochodzą odsetki, odchodzi wpłata.

Wzory 9–10 — saldo przy stałej wpłacie

W

S_i=(1+r)\,S_{i-1}-W \qquad (9)

S_i=P\,(1+r)^{i}-W\cdot\frac{(1+r)^{i}-1}{r} \qquad (10)

Po ilu miesiącach kredyt zniknie?

Przyrównujemy $S_T=0$ we wzorze 10 i rozwiązujemy względem $T$ :

Wzór 11 — liczba miesięcy do spłaty przy stałej wpłacie

T=\frac{\ln\dfrac{W}{W-P\,r}}{\ln(1+r)}

Wzór ma sens tylko wtedy, gdy $W>P\,r$ . Wielkość $P\,r$ to odsetki za pierwszy miesiąc: jeśli wpłacasz mniej, saldo w ogóle nie maleje.

Przykład — wpłata

W=5\,000

zł

Odsetki za pierwszy miesiąc: $P\,r=700\,000\cdot 0{,}0045=3\,150$ zł, więc $W>P\,r$ (warunek spełniony).

T=\frac{\ln\dfrac{5000}{5000-3150}}{\ln 1{,}0045}=\frac{\ln 2{,}7027}{0{,}0044899}\approx \frac{0{,}9942}{0{,}0044899}\approx 221{,}4

Czyli 221 pełnych wpłat i jedna mniejsza, razem 222 raty zamiast 300: kredyt kończy się o 78 miesięcy (6 lat i 6 miesięcy) wcześniej. Suma odsetek spada z 577 073 zł do 407 211 zł, więc oszczędzasz 169 862 zł.

4 Skróć okres czy zmniejsz ratę?

Po nadpłacie bank pyta, co zrobić z harmonogramem. Są dwie standardowe opcje:

Skróć okres

Rata zostaje taka sama, $\mathrm{PMT}$ . Mniejsze saldo oznacza, że kredyt spłaci się szybciej.

Zmniejsz ratę

Okres zostaje ten sam, a rata jest przeliczana od nowego, niższego salda i pozostałej liczby miesięcy.

Rata po nadpłacie

Jeśli po $(i-1)$ -tej racie saldo wynosi $S_{i-1}$ , a do końca zostało $n-i+1$ miesięcy, to rata w $i$ -tym miesiącu wynosi:

Wzór 12 — rata przeliczona na pozostały okres

\mathrm{PMT}_i=S_{i-1}\cdot\frac{r}{1-(1+r)^{-(n-i+1)}}

Gdy nic nie nadpłacasz, wzór 12 daje w każdym miesiącu dokładnie tę samą ratę co wzór 2, więc harmonogram się nie zmienia. Rata spada dopiero po nadpłacie, i to proporcjonalnie do spadku salda.

Kluczowy fakt: stała wpłata $W$ robi z obu opcji to samo

Twierdzenie

Jeśli co miesiąc wpłacasz tę samą kwotę $W$ , saldo zmienia się zgodnie ze wzorem 9, który nie zależy od tego, jak bank nazwał nadpłatę. Odsetki, liczba rat i oszczędność są więc identyczne w obu opcjach.

Różnica pojawia się dopiero wtedy, gdy przy opcji „zmniejsz ratę" naprawdę płacisz już tylko niższą ratę. Wtedy wpłacasz co miesiąc mniej, saldo spada wolniej, a odsetek jest więcej. Tak porównuje je kalkulator w trybie „Ręczna nadpłata".

Porównanie (

P=700\,000

zł,

n=300

r=0{,}0045

)

Scenariusz	Strategia	Liczba rat	Odsetki	Oszczędność
Bez nadpłat	—	300	577 073 zł	—
Jednorazowo 50 000 zł w 12. miesiącu	skróć okres	261	460 074 zł	116 999 zł
Jednorazowo 50 000 zł w 12. miesiącu	zmniejsz ratę (4 257 zł → ok. 3 947 zł)	300	537 765 zł	39 308 zł
Co miesiąc 743 zł nadpłaty	skróć okres	222	407 226 zł	169 847 zł
Co miesiąc 743 zł nadpłaty	zmniejsz ratę (rata + 743 zł)	298	490 596 zł	86 477 zł

Wnioski

Skróć okres minimalizuje koszt kredytu, bo przy tej samej nadpłacie saldo spada najszybciej. Zmniejsz ratę daje niższe miesięczne obciążenie (większą płynność), ale kosztuje więcej odsetek. Możesz też połączyć zalety: wybrać zmniejszenie raty i mimo to dalej wpłacać dotychczasową kwotę. Dokładnie tak działa tryb „Stała wpłata" i wtedy wynik jest taki jak przy skróceniu okresu.

5 Zestawienie wzorów

Wszystkie wzory kalkulatora

r=\frac{\text{marża}+\text{WIBOR}}{1200} \qquad (1)

\mathrm{PMT}=P\cdot\frac{r\,(1+r)^{n}}{(1+r)^{n}-1} \qquad (2)

O_i=S_{i-1}\cdot r \qquad (3)

K_i=\mathrm{PMT}-O_i \qquad (4)

S_i=S_{i-1}-K_i \qquad (5)

S_i=P\,(1+r)^{i}-\mathrm{PMT}\cdot\frac{(1+r)^{i}-1}{r} \qquad (6)

S_i=S_{i-1}-K_i-N_i \qquad (7)

N=W-\mathrm{PMT} \qquad (8)

S_i=(1+r)\,S_{i-1}-W \qquad (9)

S_i=P\,(1+r)^{i}-W\cdot\frac{(1+r)^{i}-1}{r} \qquad (10)

T=\frac{\ln\dfrac{W}{W-P\,r}}{\ln(1+r)} \qquad (11)

\mathrm{PMT}_i=S_{i-1}\cdot\frac{r}{1-(1+r)^{-(n-i+1)}} \qquad (12)

6 Czego ten model nie uwzględnia

Zmiennego oprocentowania. Stawka WIBOR zmienia się w czasie, a wraz z nią $r$ i rata. Kalkulator zakłada stałe $r$ przez cały okres. Wzory pozostają prawdziwe w każdym okresie stałego oprocentowania, ale wynik końcowy będzie inny.
Dokładnego naliczania odsetek. Banki naliczają odsetki za faktyczną liczbę dni, nie dokładnie $r$ co miesiąc. Różnice to zwykle kilka złotych na ratę.
Ubezpieczeń i opłat. Rata widoczna w ofercie banku bywa wyższa od $\mathrm{PMT}$ , bo zawiera np. ubezpieczenie. Kalkulator liczy wyłącznie ratę kredytu.
Prowizji za nadpłatę. W części umów wcześniejsza spłata w pierwszych latach jest płatna. Sprawdź w swojej umowie i odejmij ją od oszczędności.

Kalkulator z harmonogramem i nadpłatami

Wpisz parametry kredytu, wybierz sposób nadpłaty i zobacz, ile zaoszczędzisz na odsetkach.

Parametry kredytu

Kwota kredytu (zł)

Okres (miesiące)

Marża banku (%)

WIBOR (%)

Ile wpłacam co miesiąc?

Domyślnie wpisana jest rata kredytu. Zwiększ kwotę, aby zobaczyć, co daje nadpłata.

zł

Rata kredytu: – zł Nadpłata miesięcznie: – zł

Dlaczego tu nie ma przełącznika „skróć okres / zmniejsz ratę"? Gdy co miesiąc wpłacasz tę samą kwotę, saldo spada tak samo w obu opcjach (wzór 9), więc wynik jest identyczny. Różnicę zobaczysz w zakładce „Ręczna nadpłata".

Jednorazowa nadpłata (opcjonalnie)

Kwota (zł)

W którym miesiącu?Numer miesiąca od uruchomienia kredytu

Podsumowanie

Struktura wpłat w kolejnych latach

Kapitał Odsetki Nadpłaty

Harmonogram spłat

Mies.	Wpłata	Rata	Kapitał	Odsetki	Nadpłata	Saldo

Symulacja ma charakter poglądowy i nie stanowi oferty ani porady finansowej. Kalkulator zakłada stałe oprocentowanie przez cały okres i nie uwzględnia ubezpieczeń, opłat ani prowizji za nadpłatę. Rzeczywiste wartości zależą od umowy z bankiem.

Matematyka, która się przydaje.

Wzór na ratę to suma ciągu geometrycznego, a nadpłata działa jak procent składany „w drugą stronę". Takie historie opisuję w „Matmie w praktyce".

Czytaj Matmę w praktyce →